البـــــوابـــة
I ) Loi de décroissance radioactive :
1) Nombre de désintégrations pendant une durée Dt :
On considère un échantillon contenant N noyaux radioactifs (non désintégrés) à un instant t .
Ce nombre est noté N 0 à l'instant t 0 = 0s pris comme instant initial.
Pendant une durée Dt très brève, un certain nombre de noyaux radioactifs se sont désintégrés.
Soit N+ DN le nombre de noyaux radioactifs non désintégrés à la date t+ Dt.
( DN < 0 car N diminue )
Le nombre moyen ( phénomène aléatoire) de noyaux désintégrés pendant la durée Dt est :
N t - N t+ Dt = N - (N + DN) = - DN > 0
Ce nombre moyen de désintégrations pendant la durée Dt est proportionnel:
ط Au nombre N de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à la date t.
ط A la durée Dt. (Si Dt est petit par rapport à t, si Dt double alors le nombre de désintégrations qui se produisent, double aussi).
On a donc : - DN = l.N. Dt où l est la constante radioactive, caractéristique d'un radioélément.
- DN = l.N. Dt ق - DN / N = l. Dt
Analyse dimensionnelle : [ l]= [- DN /(N. Dt)] = [T] -1
l s'exprime en s -1, min -1, h -1, jour -1 ou an -1.
L'inverse de la constante radioactive est homogène à une durée .
On définit aussi t = 1 / l où t est appelée constante de temps.
2) Décroissance exponentielle :
L'évolution du nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon au cours du temps est donnée par : - DN / N = l. Dt
(Par définition, la dérivée de la fonction N(t) par rapport au temps est : N'(t) = lim ( Dt ® 0) DN/ Dt.)
Si Dt tend vers 0, la relation devient - dN/N = l.dt
( en prenant l'intégrale, on obtient :
= - l. 
ق ln(N/N 0) = - l .t ق N / N 0 = e - l .t
ق N = N 0.e - l .t . Rappel : y = e a.x , y' = a.e a.x , y' = a.y )
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La fonction N(t) qui vérifie cette propriété est : N = N 0 e - l.t
où N 0 est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant initial
et l est la constante radioactive.
D'après cette fonction, la durée de désintégration totale est infinie.
N est une fonction décroissante du temps
Plus l est grande, plus la décroissance de N est rapide
3) Demi-vie radioactive :
a) Définition :
La demi-vie radioactive, notée t ½ , d'un échantillon de noyaux radioactifs est égale à la durée nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent. N( t + t ½ ) = N(t) / 2
b) Calcul de la demi-vie t ½ :
N( t + t ½ ) = N( t ) / 2 ق N 0.e - l (t+ t ½) = N 0.e - l t / 2 ق e - l t ½ = 1 / 2
ق - l. t ½ = ln ½ = - ln 2 ق t ½ = ln 2 / l = t .ln 2
II ) Activité radioactive :
1) Définition :
L'activité A radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde .
A = N désint. / Dt = - DN / Dt ( A > 0)
Elle s'exprime en becquerels dont le symbole est Bq ( 1 Bq = 1 désintégration par seconde).
( Le curie (Ci) est aussi une unité d'activité . Il vaut 3,7.10 10 Bq. )
A = - DN / Dt = l.N = l.N 0.e - l.t = A 0.e - l.t
L'activité suit la même loi de décroissance exponentielle que N.
1) Nombre de désintégrations pendant une durée Dt :
On considère un échantillon contenant N noyaux radioactifs (non désintégrés) à un instant t .
Ce nombre est noté N 0 à l'instant t 0 = 0s pris comme instant initial.
Pendant une durée Dt très brève, un certain nombre de noyaux radioactifs se sont désintégrés.
Soit N+ DN le nombre de noyaux radioactifs non désintégrés à la date t+ Dt.
( DN < 0 car N diminue )
Le nombre moyen ( phénomène aléatoire) de noyaux désintégrés pendant la durée Dt est :
N t - N t+ Dt = N - (N + DN) = - DN > 0
Ce nombre moyen de désintégrations pendant la durée Dt est proportionnel:
ط Au nombre N de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à la date t.
ط A la durée Dt. (Si Dt est petit par rapport à t, si Dt double alors le nombre de désintégrations qui se produisent, double aussi).
On a donc : - DN = l.N. Dt où l est la constante radioactive, caractéristique d'un radioélément.
- DN = l.N. Dt ق - DN / N = l. Dt
Analyse dimensionnelle : [ l]= [- DN /(N. Dt)] = [T] -1
l s'exprime en s -1, min -1, h -1, jour -1 ou an -1.
noyau radioactif | uranium 238 | carbone 14 | césium 137 | iode 131 |
constante radioactive l | 1,5.10 -10 an -1 | 1,2.10 -4 an -1 | 2,3.10 -2 an -1 | 8,5.10 -2 jour -1 |
L'inverse de la constante radioactive est homogène à une durée .
On définit aussi t = 1 / l où t est appelée constante de temps.
2) Décroissance exponentielle :
L'évolution du nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon au cours du temps est donnée par : - DN / N = l. Dt
(Par définition, la dérivée de la fonction N(t) par rapport au temps est : N'(t) = lim ( Dt ® 0) DN/ Dt.)
Si Dt tend vers 0, la relation devient - dN/N = l.dt
( en prenant l'intégrale, on obtient :
ق ln(N/N 0) = - l .t ق N / N 0 = e - l .t ق N = N 0.e - l .t . Rappel : y = e a.x , y' = a.e a.x , y' = a.y )
La fonction N(t) qui vérifie cette propriété est : N = N 0 e - l.t où N 0 est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant initial
et l est la constante radioactive.
D'après cette fonction, la durée de désintégration totale est infinie.
N est une fonction décroissante du temps
Plus l est grande, plus la décroissance de N est rapide
3) Demi-vie radioactive :
a) Définition :
La demi-vie radioactive, notée t ½ , d'un échantillon de noyaux radioactifs est égale à la durée nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent. N( t + t ½ ) = N(t) / 2
b) Calcul de la demi-vie t ½ :
N( t + t ½ ) = N( t ) / 2 ق N 0.e - l (t+ t ½) = N 0.e - l t / 2 ق e - l t ½ = 1 / 2
ق - l. t ½ = ln ½ = - ln 2 ق t ½ = ln 2 / l = t .ln 2
II ) Activité radioactive :
1) Définition :
L'activité A radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde .
A = N désint. / Dt = - DN / Dt ( A > 0)
Elle s'exprime en becquerels dont le symbole est Bq ( 1 Bq = 1 désintégration par seconde).
( Le curie (Ci) est aussi une unité d'activité . Il vaut 3,7.10 10 Bq. )
A = - DN / Dt = l.N = l.N 0.e - l.t = A 0.e - l.t
L'activité suit la même loi de décroissance exponentielle que N.
source | 1 L d'eau | 1 kg granit | homme (70kg) | 1 kg d'uranium | 1 g plutonium |
activité (en Bq) | 10 | 1 000 | 10 000 | 25.10 6 | 2.10 9 |
2) Dangerosité et effet biologique :
Plus l'activité d'une source est grande, plus elle est dangereuse.
L'action sur les tissus vivants dépend de plusieurs paramètres, du nombre de particules reçues par seconde, qui dépend de l'activité A et de la distance de la source; de l'énergie et de la nature des particules ; du fractionnement de la dose reçue et de la nature des tissus touchés.
Cela peut provoquer des réactions chimiques et des modifications de l'ADN .
III ) Datation :
1) Principe :
A = A 0.e - lt ق A / A 0 = e - lt ق ln(A/A 0) = - l.t ق t = ln(A 0/A) / l
En connaissant un radioélément contenu dans l'objet , on détermine sa constante l .
On peut mesurer A, si l'on connaît l'activité A 0 de l'échantillon ,alors on peut connaître la date d'origine t de l'objet.
2) Datation au carbone 14
La proportion de carbone 14 par rapport à l'isotope 12 abondant est de l'ordre de 10 -12 , elle est à peu près constante car il est régénéré dans l'atmosphère. Il en est de même dans le dioxyde de carbone de l'atmosphère. Or tous les organismes vivants échangent du CO 2 avec l'atmosphère soit par photosynthèse , soit par l'alimentation. Les tissus fixent l'élément carbone. La proportion de carbone 14 dans les tissus est donc identique à celle de l'atmosphère tant que l'organisme est en vie. A leur mort, la quantité de carbone 14 diminue selon la loi de décroissance radioactive.
t 1/2 ( 14C) » 5570 ans
